Breviario de filosofía.

 

MATEMÁTICAS

  

            Al igual que la filosofía, la religión y el saber popular, las matemáticas tampoco contrastan sus ideas; las cuales son en su mayoría deducciones, aunque también exista la inducción matemática y los matemáticos razonen por analogía. Tal vez podríamos afirmar que, dentro del método hipotético-racional, no sólo omiten el cuarto paso (la contrastación), sino también el primero (la observación desde la experiencia); de modo que las fases dos y tres (la hipótesis y sus consecuencias) se quedan como un ejercicio del pensamiento al margen de la realidad; si comparamos la hipótesis y sus predicciones con un cuerpo, y la observación y la contrastación con patas que lo sostienen en el suelo, resultará que las matemáticas son un cuerpo de pensamientos que flotan en el aire, sin ningún contacto con la realidad física. Lo curioso es que las cosas que descubren los matemáticos están en la realidad, como las curvas descubiertas por análisis, los fractales y la serie de Fibonacci. Hay curvas que, por raras que parezcan, corresponden a fenómenos físicos, como las curvas de flujo plano con torbellinos se materializan en fluidos con su vórtex. Los fractales, por ejemplo aquellos que son más que una línea pero menos que una superficie, corresponden a las playas, donde no existe una línea clara que marque la separación entre el agua y la arena. Y la serie de Fibonacci se manifiesta en caracolas de moluscos en forma de hélice y en la disposición de los pétalos en la flor o de las hojas alrededor del tallo.

            ¿Cómo es posible que las matemáticas, que no se basan en el estudio de la realidad física, descubran estructuras que se manifiesten en esa misma realidad? ¿Casualidad? ¿O es que todas las hipótesis que podamos construir en el aire ya existen en la realidad de todos los días? ¿Será que el pensamiento y la naturaleza están conectados, de tal manera que no podemos pensar en nada que no exista ya en la naturaleza aunque nosotros no lo sepamos?

            Las matemáticas contienen formas de inferencia que son los esquemas de pensamiento que utilizamos todos: su estudio es la lógica. Pero también contiene cosas que existen en la realidad, aunque su existencia sea abstracta: esos contenidos son formas del espacio (geometría, topología) y del tiempo (aritmética, álgebra); otras, como la geometría analítica, son mixtas.

            Ha habido matemáticos (como Russell) que creyeron que en la matemática no hay más que lógica; otros (como Hilbert) postularon, por el contrario, que la matemática es mucho más que lógica y que la lógica es sólo una parte de las matemáticas. Sea como fuere, las lógicas clásicas y no clásicas y la teoría de conjuntos (los clásicos y los borrosos), aunque los descubramos en filosofía (la mayoría de las veces sin comprenderlos), se desmenuzan de verdad estudiando matemáticas.

            El método conclusivo, aplicado a las ciencias empíricas, lo hemos llamado método hipotético-racional; tiene dos patas agarradas al suelo; cuando le falta una de ellas (la contrastación) se queda cojo y entonces se convierte en filosofía; pero si le quitamos la otra (la exploración de la realidad), flota sobre el mundo diciendo cosas que parece que no tienen que ver con él: y convertimos la ciencia y la filosofía en matemáticas. A menos que la realidad que explora no sea ni la del mundo exterior ni la del interior, pero no deje, sin embargo, de ser realidad; en lugar de ver, oír, oler y tocar objetos, y de sentir alegría o tristeza y placer o dolor y experimentar en el recuerdo realidades que no están presentes; en lugar de todo eso, acaso la realidad que estudian las matemáticas sean las formas de la experiencia, interna y externa, al margen de las sensaciones; al margen de las percepciones y del placer y el dolor; los contenidos de las matemáticas son las formas comunes a esas sensaciones, originariamente relacionadas con la vista y el equilibrio: líneas, contornos, tamaños, ordenados todos por los tres canales que tenemos en el laberinto, las tres dimensiones del espacio, que son la base de la geometría euclidiana. Nosotros vemos las cosas en relieve, pero en el mundo hay cosas que tienen profundidad y cosas planas; por eso hasta las cosas planas, como una hoja de papel, tienen espesor; y si miramos con atención por sus bordes, primero a simple vista, luego con lupas de distintos aumentos y al final con un microscopio, descubriremos que esa superficie tiene también profundidad, pero una profundidad delgada. 

            La mayoría de las reacciones químicas que se producen en nuestro cuerpo son irreversibles; es decir que los reactivos se convierten en productos, pero no puede suceder al revés; la gasolina quemada por el motor de un coche sale convertida en humo sucio por el tubo de escape; pero no podemos volver a meter ese humo por el mismo tubo para que el depósito se vuelva a llenar de gasolina. Esa experiencia de que muchas de las cosas que suceden no pueden repetirse, como si la vida fuera una cinta cinematográfica que proyectamos al revés para ver subir desde el suelo los objetos que, cuando la cinta es visionada al derecho, caen al suelo: esa experiencia nosotros la llamamos tiempo; el tiempo no se ve, pero vemos las cosas que son arrastradas por él; es como si el tiempo fuese un río que sólo fluye de la montaña al mar, de arriba abajo, y nunca al revés; nosotros estamos sentados en la hierba pero si nos caemos al río, el río nos lleva muy lejos de donde estábamos sentados; y no volveremos atrás porque, aunque vayamos a contracorriente en una lancha con motor, cuando regresemos al mismo sitio ya no somos como éramos antes; podemos viajar en el espacio pero no en el tiempo, el tiempo es como un espacio en movimiento, si nosotros nos movemos en el espacio el tiempo se mueve en nosotros: no somos nosotros los que nos movemos en el tiempo.

            Pues bien: el paso del tiempo son las gotas de agua o los granos de arena que van cayendo en un reloj de arena, en una clepsidra; es una experiencia discontinua que tenemos del tiempo.

            Pero también hay experiencias continuas del tiempo; la que se tiene, por ejemplo, en un reloj de sol: la sombra se va moviendo en la superficie de manera gradual, sin dar saltos, sin que la podamos contar como contamos las gotas de agua o los granos de arena. Los relojes eléctricos y mecánicos, tanto analógicos como digitales, nos dan también una visión discontinua del tiempo: podemos contar sus tic-tacs como contamos los latidos del corazón en sístole y diástole; o como contamos nuestra respiración en inspiraciones y espiraciones.

            Contar gotas de arena, gotas de agua, tic-tacs, sístoles y diástoles o inspiraciones y espiraciones es hacer aritmética; cada gota o grano que contamos es una unidad; y tenemos la sucesión de los números enteros: que los llamamos naturales cuando los contamos desde cero en adelante, no desde cero para atrás; los números negativos son un artificio para contar, hacia atrás, el tiempo que ya ha pasado, no el tiempo que está pasando.

            Pero si queremos poner en relación el reloj de arena con el reloj solar estaremos poniendo en correspondencia el tiempo discontinuo con el continuo, para ver cuántos granos caen mientras la sombra se desplaza entre dos marcas que hayamos hecho en la superficie del reloj solar; dos marcas colocadas, generalmente, a la distancia de una hora. Pues bien, al relacionar cantidades discretas (unidades de granos de arena) y cantidades continuas (superficies acotadas por donde se desplazan las sombras), la aritmética y la geometría se funden en geometría analítica: y aparece el concepto de infinitésimo, de diferencial y de asíntota. 

            La geometría también se puede medir en el tiempo: cuando convertimos una línea en una sucesión de puntos pegados entre sí que, cuando los miramos con una lupa, descubrimos que no están pegados y que entre punto y punto también podemos poner muchos puntos; y así sucesivamente. También podemos hacer eso con el tiempo: entre dos puntos de la línea del tiempo (esto es, entre dos instantes), caben, si los miramos con detenimiento, muchos instantes sucesivos, y entre instante e instante hay intervalos o lapsos más pequeños. Newton utilizaba los instantes y con su física se pueden calcular velocidades instantáneas; Einstein, sin embargo, les negaba realidad a los instantes, como si no existieran.

            Sea como fuere podemos decir, en primera aproximación (aunque luego afinemos mucho más), que la aritmética es el estudio del tiempo mientras que la geometría lo es del espacio. Los objetos que constituyen el objeto de la matemática (unidades, intervalos puntos, líneas, superficies, volúmenes y desplazamientos) son objetos sacados de la experiencia; extraídos de ella o más bien abstraídos, separados del color, el tacto, el gusto, el sabor, el placer o el dolor como cuando separamos un prisma de una caja: arrancándolo de ella, o más bien copiándolo en el espacio mental como reflejo de la figura arquetípica que esa misma caja copió en el espacio físico de otro espacio ideal que existía fuera del tiempo. Admitir estas cosas sería profesar un platonismo matemático.

            De modo que la matemática es mucho más que lógica. Las proposiciones lógicas que representamos mediante las letras p, q, r… están vacías; no tienen contenido; una letra puede referirse a cualquier cosa, depende de cómo la interpretemos y según qué universos del discurso. Las variables, ya sean proposiciones o predicados, conjuntos o relaciones, son como cajas que todavía no hemos llenado con nada. Pero las constantes lógicas sí tienen contenido: una disyunción es una elección entre dos mundos alternativos, una conyunción es una existencia conjunta en el mismo mundo, un condicional es una dependencia y una negación es una inversión (negar conyunciones es afirmar disyunciones, que son sus contrarias).

            Si la lógica utiliza variables vacías con constantes dotadas de contenido, la matemática tiene a la vez variables y constantes dotadas de significado, y por lo tanto de contenido; una “x” en una función puede tomar cualquier valor pero no está vacía, y su contenido pueden ser números naturales o complejos, según sea su dominio de definición. Ahora bien los contenidos de la matemática no se pueden ver en la naturaleza, como les sucede a los de la física; no forman parte ni de la experiencia exterior ni de la interior (esto último sería historia, ciencia, arte o psicología). No: los contenidos de la matemática son anteriores a toda experiencia, son contenidos a priori. A priori, pero los captamos, al principio, vertidos en la experiencia. El niño percibe líneas y cubos en los bloques lógicos y las regletas de colores, pero no sabe que los percibe, no se da cuenta de ello, todavía no los sabe nombrar; a medida que crece los irá captando cada vez mejor, irá separando sus formas de los objetos, los irá abstrayendo y les dará nombres, y entonces empezará a operar con objetos matemáticos, no ya con objetos físicos. Es decir que los objetos matemáticos se conocen a través de la experiencia pero no proceden de la experiencia; son a la vez a posteriori y a priori, empíricos y al mismo tiempo innatos. Pero no está claro (esto sería un kantismo sin Kant, platonismo más bien) que haya objetos a priori que sean también sintéticos; objetos cuyo significado no se pueda descubrir por análisis. Aunque este extremo hay que discutirlo más despacio; porque estudiar el concepto de línea es descubrir lo que ya sabíamos pero no recordábamos; no descubrir, como supone Kant, cosas que no supiéramos antes; el concepto de juicio sintético como ampliación de mi conocimiento corresponde a los descubrimientos matemáticos, pero esto no significa que mi experiencia sea sintética; descubrir una propiedad de la línea no es poner en ella algo que no contuviera ya, sino ver algo que estaba allí aunque aún no la viéramos, como descubrir una veta de hierro en una roca es dejarla al descubierto con pico y pala porque esa veta no afloraba a la superficie: al ponerla al descubierto nosotros no la ponemos allí, nosotros no la construimos, no la creamos; sólo la descubrimos, porque allí estaba antes de que llegáramos nosotros. Analizar es poner a la vista propiedades que estaban ocultas, no poner en los objetos propiedades que esos objetos no tuvieran ya. Descubrir es ampliar nuestro conocimiento, analizar los objetos y ver con la lupa lo que no veíamos a simple vista. Hay lupas de vidrio para ver los objetos de la experiencia, pero para ver los objetos innatos tenemos también lupas mentales. 

            Lo que Hume llamaba relaciones de ideas Kant lo llama proposiciones analíticas, y lo que Hume llamaba cuestiones de hecho Kant lo llama proposiciones sintéticas. Descubrimos la verdad de las cuestiones de hecho comprobando si lo que decimos corresponde a lo que existe en la realidad, como para saber si llueve tenemos que salir a la calle o mirar por la ventana; y descubrimos si las relaciones de ideas son verdad estudiando si son coherentes o absurdas, tautológicas o indeterminadas; coherentes (llueve si hay nubes); absurdas (el viento movió las velas del barco un día que estaba la mar en calma); tautológicas (hablar de círculos equivale a mencionar radios equidistantes del centro); e indeterminadas (si estudio aprobaré). La verdad por correspondencia o adecuación corresponde a las proposiciones sintéticas. La verdad por coherencia, a las proposiciones analíticas.

            “Pedro tiene un jersey rojo” es una proposición sintética. Sintética porque por mucho que analice el concepto de “Pedro” nunca descubriré en él jerseys rojos; a menos que descubra que tiene predilección por el rojo y que los jerseys sean su prenda preferida para vestir: si es así, analizando a Pedro descubriré que ponerse jerseys rojos forma parte de su personalidad. Es lo que hacen los detectives. Y la policía. Aquí la proposición es analítica.

            Pero si se ha puesto el primer jersey que ha visto en su armario está vistiendo de rojo por pura casualidad, y por mucho que estudie su psicología nunca descubriré que vestir de rojo forme parte de él; es un hecho circunstancial. En este último caso la proposición es sintética.

            En ambos casos descubrir que Pedro viste de rojo amplía mi conocimiento. Pero en el primero lo que al principio se me presenta como sintético resultará, en un estudio más profundo, analítico; en el segundo caso no pasará de sintético.

            Dicho de otro modo: no podemos definir lo sintético como aquello que amplía mi conocimiento, sino como el descubrimiento de fenómenos que se añaden (sea forzándolos, o bien fortuitamente) a la naturaleza de otros fenómenos, pero sin formar parte de ella.

            Porque descubrir las cosas analizándolas también es ampliar nuestro conocimiento; y no son proposiciones sintéticas. Unas veces analizando el lenguaje: la hipertensión es alta; el miocardio es el músculo del corazón; la artrosis es deformación articulatoria. Otras, analizando los fenómenos: la sangre contiene glóbulos rojos (no hay sangre que no los contenga); el cerebro contiene neuronas (descubrirlas es analizar el cerebro, como, entre otros, hizo Cajal); el agua se puede disociar por electrólisis (la posibilidad de la electrólisis estaba ya en la naturaleza del agua, aunque no lo supiéramos, porque el agua es un compuesto); o el rayo procede de la actividad eléctrica de una atmósfera cargada. 

            En estos casos descubrir es analizar; y no parece que Kant se haya fijado mucho en esta forma, no sintética, de ampliar nuestro conocimiento.

            Sea como fuere, y volviendo a las matemáticas, podemos postular (Hegel ya lo había hecho) que todo lo que existe tiene una razón de ser; y que cada vez que descubrimos algo nuevo ampliamos nuestro conocimiento del sujeto con predicados nuevos; pero añadir predicados a un sujeto no es ponerlos en él, sino descubrirlos, porque siempre habían estado allí; estudiar, investigar, descubrir es sumar predicados a nuestro conocimiento; pero la realidad tiene los mismos predicados antes y después de nuestros descubrimientos, porque cuando descubrimos cosas cambiamos nuestros conocimiento de las cosas, no cambiamos las cosas mismas.

            Volviendo a donde estábamos, recordemos que nuestros conocimientos pueden ser empíricos o innatos; los primeros son propios de las ciencias naturales y sociales; los segundos proceden de la lógica si tienen contenidos a priori (las constantes lógicas) aplicados a variables vacías; y de la matemática, si las constantes lógicas se aplican a variables que contienen trozos de espacio y tiempo separados de la experiencia espacio-temporal de los objetos

            Y volviendo otra vez sobre nuestros pasos, recordemos que la matemática consiste en hipótesis y deducciones sin conexión con la experiencia ni al principio ni al final de los razonamientos; hemos visto que de las cuatro fases del método conclusivo, vertidas en el método hipotético-racional, a la matemática le falta la primera (observación) y la última (contrastación); y consiste sólo en pensamientos flotantes sobre la realidad.

            El procedimiento más usado por los matemáticos es la deducción. Una deducción es un pensamiento que va de lo general a lo particular (si todos los seres humanos son mortales y si Sócrates es un ser humano, entonces Sócrates es mortal). Pero también la podemos definir como un pensamiento seguro, infalible, correcto y válido.

            Hay varias formas de hacer deducciones, pero todas tienen en común que numeran uno a uno todos sus pasos para no perder nuca el hilo. Deducimos cuando aplicamos el teorema de la deducción, cuando hacemos demostraciones por el absurdo, cuando hacemos pruebas pos casos… Vamos a ver, como botones de muestra, unas deducciones.

            Teorema de la deducción. Se basa en que si una cosa lleva a otra y si sucede la primera, tendremos que aceptar que también sucederá la segunda. Veámoslo con un ejemplo:

(1)   Si llueve y hace frio soplará el viento.

(2)   Y si sopla el viento volarán las hojas.

(3)   ¿Se deduce de ahí que si llueve y hace frío volarán las hojas?

(4)   Supongamos que, efectivamente, llueve y hace frío.

(5)   Entonces soplará el viento, como hemos visto en el paso número (1).

(6)   Y volarán las hojas: que es lo que se ha dicho en la línea número (3),

(7)   Por lo tanto era verdad (línea (3)) que cuando llueve y hace frio vuelan las hojas; eso era lo que queríamos demostrar.

            Reducción al absurdo. Se basa en que si negamos lo que queremos demostrar y llegamos a conclusiones absurdas, ésa es la mejor prueba de que no lo podemos negar. Afirmemos, por ejemplo, que siempre que llueve hay nubes y que ahora no hay nubes: ¿significa eso que no llueve? ¿Qué pasaría si lloviera? Demostremos que, si lloviera, nos acabaríamos contradiciendo y, por lo tanto, diciendo tonterías.

(1)   Si llueve es porque hay nubes.

(2)   Y resulta que hoy no hay nubes.

(3)   ¿Se deduce de ahí que no llueve?

(4)   Supongamos que lloviera: ¿qué pasaría entonces?

(5)   Que habría nubes.

(6)   Pero en la línea (2) hemos admitido que no las hay.

(7)   Estamos admitiendo a la vez que hay nubes y que no las hay: líneas (5) y (2).

(8)   Por lo tanto no podemos afirmar que llueve: no llueve, contrariamente a lo que suponíamos en la línea (4).

Veamos otro ejemplo de reducción al absurdo. Se trata ahora del siguiente problema: ¿podemos decir que √2 es un número irracional? Recordemos que si al negarlo llegamos a una contradicción, es que no podemos negarlo. (Contradecirse es decir a la vez una cosa y su contraria, como que está nublado pero no hay nubes). Veamos un ejemplo:

(1)   ¿Es √2 un número irracional? Supongamos que no; por lo tanto √2 es un número racional.

(2)   Entonces es el resultado de dividir dos números que a su vez sólo se pueden dividir por 1.

√2 = a/b, con m.c.d. (a, b) = 1.

(3)   Si elevamos al cuadrado cualquier igualdad el resultado no varía. Veamos un ejemplo:

4/2 = 2

(4/2)² = 2²

16/4 = 4

4 = 4

                  Apliquemos esta operación a nuestro número √2 = a/b:

                        (√2)² = a² /b²

                        2 = a² / b²

(4)   Despejando obtenemos que 2b² = a²

(5)   O lo que es igual: 2b = a.

(6)   Por lo tanto a es un número par, dado que es el doble de b, y el doble de cualquier número siempre es par.

(7)   Y un número par se puede dividir entre dos; por lo tanto, su máximo común divisor ya no es 1, sino 2.

m.c.d. (a, b) ≠ 1

(8)   Pero en nuestro paso número (3) habíamos afirmado que m.c.d. (a, b) = 1: hemos llegado, pues, a una contradicción; en (2) y en (7) estamos afirmando una cosa y su contraria.

(9)   Por lo tanto no podemos negar que √2 sea un número irracional, como habíamos hecho al principio, en el paso número (1); √2 es, pues, irracional; lo acabamos de demostrar por reducción al absurdo.

También se utiliza la inducción en matemáticas. Podemos definir la inducción como un pensamiento que va de lo particular a lo general (después de ver muchos cuervos negros llego a la conclusión de que todos los cuervos son negros). Pero no podemos construir un conjunto completo con una de sus partes, no podemos pasar legítimamente de muchos a todos: es como si quisiéramos construir un edificio solamente con unos pocos ladrillos; yo he visto muchos cuervos y todos eran negros, pero no puedo asegurar que no haya cuervos blancos que no han pasado nunca delante de mí: por eso la inducción es un razonamiento probable, y no tiene la seguridad que tienen las deducciones. 

Eso pasa con las inducciones que hacen las ciencias naturales; la inducción matemática es otra cosa: la inducción matemática es tan segura como las deducciones y lo vamos a ver en seguida con un ejemplo.

Inducción matemática. Por el principio de inducción matemática podemos subir tan alto como queramos por una escalera, si demostramos que podemos subir el primer peldaño (el “caso base”) y que desde cada peldaño podemos subir al siguiente (paso inductivo).

Se habla de recurrencia cuando cualquier cosa que digamos de un número depende de números anteriores; es lo propio de las inducciones matemáticas.

Primer ejemplo: si tenemos alineadas un montón de fichas de dominó y empujamos la primera, ésta no sólo empujará a la segunda, sino que la segunda empujará a la tercera y ésta a su vez a la siguiente hasta que caigan todas.

También tiene esta estructura la paradoja del montón: si tengo un montón de un millón de granos de arena y quito un grano y luego otro y otro y otro… cuando sólo me quede un grano seguiré teniendo un montón, por pequeño que sea.

La matemática utiliza, por consiguiente, inducciones y deducciones con una seguridad infalible; llegamos a decir cuando algo es infalible que tiene una seguridad matemática, que sus posibilidades de acierto poseen la eficacia de un automatismo ciego. “Esto es matemático”, “es automático”, dice la gente de la calle; cuando haces esto, “automáticamente” sucede esto otro: como en las deducciones. Y si las matemáticas se utilizan en las ciencias empíricas (física, química, biología, sociología e incluso lingüística) tenemos la impresión de que no pueden fallar.

¿Y si las matemáticas fallaran? ¿Y si su edificio se tambaleara? ¿Qué sucedería si nos subiéramos a un edificio de hormigón y, por las razones que fueran, sus paredes y sus cimientos se tambalearan? Inesperadamente a las matemáticas les ha sucedido eso. Siempre ha habido paradojas que han puesto a prueba la solidez de sus razonamientos. Pero en los albores del siglo XX un joven filósofo llamado Bertrand Russell descubrió una paradoja inquietante.

Paradoja de Russell.

(1)   Llamemos M a todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, como por ejemplo: un catálogo (los catálogos son libros que hablan de los otros libros de la biblioteca, pero no se mencionan a sí mismos); un barbero (el barbero es el que afeita a los que no se afeitan), y así sucesivamente. En matemáticas el símbolo “∉” significa “no contenerse a sí mismo”, “no ser miembro de sí mismo”, y el símbolo “|” significa el pronombre relativo “que”. Entonces podríamos escribir:

M = {x | x ∉ x}

que se lee así: “M es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos”; M contiene catálogos, barberos, etc.

(2)   Sabemos que x no es elemento de sí mismo, o lo que es lo mismo: no se contiene a sí mismo como elemento. ¿Le pasa lo mismo a M?

(3)   Si M se contiene tendríamos, por la definición (1), que:

M ∉ M

      O sea que si se contiene  (M ϵ M) no se contiene (M ∉ M).

(4)   Y si no se contiene tendríamos, por esa misma definición, que:

M ϵ M

      Es decir que si no se contiene (M ∉ M) entonces se contiene (M ϵ M). 

(5)   En ambos casos se llega a una contradicción. Ilustrémoslo con el ejemplo del barbero (la paradoja de Russell pasa a llamarse entonces paradoja del barbero), que dice así: en un pueblo sólo hay un barbero que afeita a los que no se afeitan; ¿quién lo afeita a él? ¿Se afeita él solo? Entonces en virtud de la definición no sería barbero, porque el barbero sólo afeita a los que no se afeitan; y si fuera barbero no se afeitaría, en virtud de su propia definición; de tal manera que tenemos que acabar concluyendo que si se afeita no se afeita y si no se afeita, se afeita.

Se han hecho varios intentos de resolver este problema: todos sin éxito. Finalmente Kurt Gödel demostró que esa solución no existe; la conclusión del teorema de Gödel es que la paradoja de Russell no tiene solución; y que las matemáticas, que son los pilares de la ciencia, de momento parece que se sostienen pero no sabemos si algún día se caerán. Tenemos la convicción moral de que eso no sucederá nunca, pero nadie lo puede demostrar. La ciencia se apoya sobre unas bases (la matemática) de fortaleza descomunal, y aunque estemos casi seguros de que no se va a romper, nada ni nadie nos garantiza que no haya fuerzas más fuertes que ella; es improbable, prácticamente imposible, pero siempre nos quedará la duda. 

Esto es lo que podemos decir de la lógica de las matemáticas; de la herramienta, esencialmente deductiva, que utiliza; la deducción es para el matemático lo que el cincel es para el escultor y la cámara para el fotógrafo o el cineasta. Pero las matemáticas también tienen su método. Como ya hemos visto que consisten en pensamiento desligado de la realidad y flotan, en cierto modo, sobre ella, en matemáticas no puede haber más que hipótesis y deducciones, como querían Aristóteles, Parménides y Descartes. Sólo que las hipótesis son conjeturas a las que los matemáticos llaman postulados. Y están construidos de tal manera que con sólo unos pocos podemos construir edificios enormes: por eso se llaman axiomas; fue lo que hizo Euclides, que con unos pocos axiomas fue deduciendo en forma de teoremas todos los conocimientos matemáticos de su tiempo; axioma quiere decir que no se puede deducir de nada, y por lo tanto es indemostrable; teorema, que se deduce a partir de los axiomas o de otros teoremas deducidos antes.

Es el método axiomático. Sirve para ordenar perfectamente el edificio del saber haciendo que unas verdades dependan de otras, o estén dentro de ellas, como unas cajas en otras y hasta se incluyan muchas dentro de algunas como si fueran un juego de muñecas rusas.

Vamos a exponer uno de los primeros sistemas axiomáticos que se conocen: el de Parménides. No está formalizado, de modo que no se expresa con símbolos abstractos sino con palabras del lenguaje cotidiano. Consta de dos axiomas y unos cuantos teoremas (aunque Parménides no utiliza las palabras “teorema” y “axioma”); veámoslo rápidamente.

Axioma 1: el ser es.

Axioma 2: el no-ser no es.

Pregunta 1: ¿se mueve el ser?

Respuesta:

(1)   Si el ser se moviera iría hacia el no-ser (hipótesis).

(2)   Pero el no-ser no existe (axioma 2).

(3)   Luego el ser no se mueve (teorema 1).

Pregunta 2: ¿el ser tiene partes?

Respuesta:

(1)   Si las tuviera estarían separadas por el no-ser (hipótesis).

(2)   Pero el no-ser no existe (por el axioma 2).

(3)   Luego el ser es atómico, no puede dividirse (teorema 2).

Pregunta 3: ¿hay un ser o varios?

Respuesta:

(1)   Si hubiera varios seres estarían separados por el no-ser (hipótesis).

(2)   Pero el no-ser no existe (por el axioma 2).

(3)   Luego sólo hay un ser, no varios (teorema 3).

Y así sucesivamente.

Hemos descubierto, sólo con el pensamiento, tres cosas: que sólo hay un ser, que no tiene partes y que está inmóvil. ¿Qué la experiencia nos dice que hay muchos seres divisibles y casi todos se mueven? Peor para la experiencia. La experiencia nos muestra cosas y el razonamiento nos demuestra que son falsas; mostrar es más que demostrar, la verdad por correspondencia palidece ante la verdad por coherencia, y no pueden existir, aunque nosotros las veamos, cosas que son contradictorias. ¿Existen roedores que no tengan incisivos? Imposible. Pero yo los he visto. Pues te engañas. Tienes que aprender a dudar de lo que ves, si lo que ves son cosas absurdas. 

Un sistema axiomático es, así, una forma de ordenar nuestros conocimientos. En la Grecia clásica había muchos teoremas matemáticos sueltos; pero Euclides los hizo depender unos de otros, creando estanterías mentales y colocando cada uno en el estante adecuado. Si queremos buscar el Canto general en una biblioteca tendremos que dejar de lado el apartado de ciencias, artes y otros para centrarnos en el de literatura; dentro de él miraremos en la poesía, y dejaremos de lado el teatro o la novela; dentro de la poesía habrá varias clasificaciones posibles, puede ser por autores, por países, por épocas, siempre por orden alfabético; y pueden estar por autor o por título; finalmente en la C encontraremos Canto general o en la N buscaremos a Neruda.

Un sistema axiomático es algo parecido: una clasificación para ordenar las leyes científicas y así poder encontrarlas sin esfuerzo. Pero es algo más: es algo así como un árbol genealógico donde se ven brotar unas ramas de otras. Uno busca la rama primitiva de la que surgieron todas las demás (Tales la puso en el agua, Anaximandro en el ápeiron, Heráclito en el fuego). Pero pronto nos damos cuenta de que esa rama no existe, y en la noche de los tiempos el origen está en varias ramas: Empédocles las buscó en los seis elementos, Anaxágoras en las semillas y Leucipo en los átomos. Mas no basta con encontrar las raíces de las cosas, también tenemos que encontrar cómo hacer las operaciones de las que puedan salir el resto de las leyes; y lo mismo que en un árbol hay varias raíces que se unifican en el tronco para dispersarse luego en las ramas, así también Euclides tomó como raíces los tres principios de Aristóteles (identidad, no-contradicción y tercio excluso) para unirlos a otras raíces propias de la geometría (axiomas y definiciones) y extraer de ellos, o conducir con ellos, hasta los lugares donde van apareciendo los teoremas. Y cuando ya en el tronco no caben tantas ramas ni en las ramas tantas hojas, el árbol vierte sus semillas y nace en el suelo un árbol nuevo; o varios; y así, de la geometría de Euclides fueron naciendo geometrías no euclídeas, como las de Lobatchevsky y Riemann. Del mismo modo, del árbol de Newton nacieron después el de Einstein y el de Planck.

De modo que un sistema axiomático es algo así como una casa con muchas habitaciones, un árbol con muchas ramas, un principio generador o un árbol genealógico. Funciona como un traje. Toda persona realza sus atractivos con el traje que se pone, y toda ciencia realza sus teorías vistiéndolas y calzándolas con sistemas axiomáticos; y así como cenicienta tenía los zapatos más pequeños de todos, así también los sistemas más elegantes son los que tienen el número más pequeño de axiomas. 

Pero eso no es todo. Una teoría axiomatizada no sólo está más presentable, sino que además es más fácil de estudiar; porque si conocemos las ramas grandes, y sobre todo si conocemos las raíces, será más fácil conocer, o hacer germinar de su propia sustancia, las ramas más pequeñas; los axiomas, y los teoremas que se deducen de ellos, son como botones o yemas de los que van creciendo ramas, hojas y flores; hasta que el árbol se vuelve frondoso.

Cuando la física empezó a crecer lo hizo por gemaciones y biparticiones más o menos dispersas: fueron Galileo, Copérnico, Descartes, Tycho Brahé y Kepler. Pero llegó un momento en que había demasiadas leyes sueltas y Newton las quiso atar a un mismo tronco para formar un árbol con muchas ramas: forjó una teoría y la axiomatizó (lo mismo que Homero creó la Ilíada uniendo leyendas dispersas). El árbol de la física (que era entonces sobre todo mecánica de sólidos) creció a partir de tres raíces: el principio de inercia, el de la fuerza y el de la acción y reacción. Pero tales principios, junto con el tronco y las ramas, no fueron un diagrama de flujo por el que se vertieron las leyes más conocidas, sino una organización de crecimiento que hizo más fácil la aparición de leyes aún desconocidas (puesto que las leyes primigenias generaban nuevos teoremas que eran capaces de depositar, en las ramas, yemas de las que brotarían teoremas nuevos). Una teoría axiomática no es un corsé que impide crecer al árbol, sino una fuerza ordenada que facilita su crecimiento; no es una muralla cerrada que impide la expansión de la ciudad, sino una muro con muchas puertas que, a la vez que la protege, la deja abrirse y crecer hacia afuera.

Recapitulando: las matemáticas son la estructura de crecimiento que sostiene nuestras ideas como un esqueleto; la musculatura que le da fuerza para crecer como ese esqueleto; y ese esqueleto es más que la vara que les sirve de tutor a las plantas para que se agarren y crezcan; es la médula que circula para darles vida, y crece a la par de los músculos, haciendo proliferar sus poleas, muelles y palancas. Las matemáticas, además de sostén de las teorías, son trajes que las embellecen y fuerzas que las hacen crecer: esos son los sistemas axiomáticos.

Tales sistemas crecen por deducción; las deducciones son formas implícitas que se abren al exterior, y, más que estructuras “enrolladas” que se “desenrollan” como las hojas cuando se abren, formas implícitas que se expresan: y que vierten fuera lo que vierten dentro (como movimiento que va de lo general a lo particular, comparables a un mismo genotipo que siembra en cada lugar fenotipos nuevos).

Pero las matemáticas, que parecen seguras y, más que seguras, infalibles, tropezaron un día con los números irracionales y se dieron un batacazo: fue su gran crisis y la tuvo que sufrir Pitágoras. Mucho más tarde tuvieron una segunda crisis y tampoco han salido de ella. Fue con la paradoja de Russell. Con el teorema de Gödel viven en un universo en el que impera su estructura sólida, flexible con su plasticidad mucho más que con la dureza del acero. Pero es un barco con algunos flancos débiles que algún día se pueden convertir en boquetes; y esperamos que ese deterioro no llegue a producirse nunca por debajo de su línea de flotación. 

 

 

MI ÚLTIMA CLASE DE FILOSOFÍA

 

 

MI ÚLTIMA CLASE DE FILOSOFÍA

Era el día en que me iba a jubilar. El azar quiso que tuviera clase con dos grupos que me iban a plantear problemas, los últimos de mi vida académica (pero no de mi vida de filósofo). Uno me implicaba como persona, el otro como estudioso, y ambas cosas son caras distintas del oficio de profesor; del profesor que se implica, por un lado, enseñando y aprendiendo, y por otro, poniéndole sentimiento a la razón. Voy a explicar brevemente lo que exigieron de mí estas dos últimas clases.

PENÚLTIMA CLASE

            Voy a llamarlo Guido. Por llamarlo de algún modo. Estaba escondido en un rincón, en la última fila, pegado a la ventana. Ni él me podía ver a mí ni yo lo podía ver a él porque todos estábamos escondidos en nuestras mascarillas; obligados por la pandemia del coronavirus, que estaba asolando el planeta. Acababa de pasar lista y ahora me dirigía a él.

            -Guido, ¿podrías dejar de mirar por la ventana? Lo que pasa dentro de la clase ahora es más importante que lo que pasa fuera.

            -Métete en tus asuntos; yo miro adonde quiera.

            Hice un esfuerzo por controlarme. Precisamente habíamos hablado de él en la evaluación cero. Las evaluaciones cero son esas juntas de profesores que se reúnen al mes siguiente de empezar el curso y su objetivo no es evaluar, sino conocer a los alumnos. Allí se había dicho que Guido había estado en residencias y casas de acogida; que sus padres estaban separados y cada uno por su lado lo había maltratado a su gusto, que había tenido experiencias traumáticas que no había que desvelar por no ser indiscretos, pero que estuviéramos seguros de que la vida no lo había tratado bien. Guido tenía un rencor escondido que escupía allí por donde pasaba, y que no intentáramos enfrentarnos con él, que iba a ser peor; que con comprensión y cariño conseguiríamos algo, pero con autoridad y razones, nada. 

            Allí no había motivo para darle palmaditas en el hombro, él me acababa de ofender. Aunque tampoco era el momento de sancionar nada: no era dueño de sí mismo y cuando hablaba, las palabras no venían cargadas de razones que intentaran convencer a nadie sino de odio que tenía intención de hacer daño. A una ofensa no se le responde con cariño, sino con razones, pero comprendiendo, no castigando; de esa manera mis palabras tendrían el cariño en las razones y no en el perdón (¿cómo iba a perdonar sus ofensas, si no quería retirarlas?); y su mejor castigo iba a ser el que él mismo se diera comprendiendo la maldad de lo que había hecho; yo le enviaba cariño que se expresaba con autoridad, pues no debía mostrarme débil, y razones comprensivas que él entendería aunque no las quisiera reconocer. En la pelea de gallos que él imponía, yo sabía que vencería la razón; pero él no reconocería esa victoria sino que la disfrazaría con su propia victoria insolente, que era la victoria de las apariencias; para él era importante quedar bien delante de los demás; y así, las derrotas injustas que él había sufrido se redimirían con la injusticia que él mismo impondría a los demás disfrazándola de fuerza; ofendiendo a una persona que él sabía que no lo iba a ofender; y sabía también que, debajo del teatro que veían todos, había también otro teatro escondido; uno donde la insolencia había perdido la batalla frente a la fuerza comprensiva de la razón. Me encaré con él.

            -¿Te he gritado? –Un silencio acusador-. ¿Entonces por qué me gritas? ¿Te he faltado al respeto? –Otro silencio retador-. ¿Entonces por qué me faltas al respeto? ¿Acaso no te estoy tratando con cariño? –Nuevo silencio-. ¿Entonces por qué me fulminas con la mirada, por qué me lanzas rencor, por qué me odias, si yo no te odio? 

            Hubo un silencio que él quiso que fuera breve; en el teatro del mundo las apariencias te dan la victoria si no te quedas callado, aunque te falten razones; si dices tú la última palabra; gana siempre quien manda callar al otro.

            -Me has gritado.

            -¿Yo? ¿Te he gritado yo? ¿Yo te he gritado?

            -Sí.

            Bajé los brazos derrotado; derrotado por la sinrazón, que es la expresión más clamorosa de la derrota.

            -Me gritaste el otro día.

            Me quedé mudo. Apabullado por la estupidez de aquel chico.

            -¡Ah! –dije-. Y lo que decimos ahora está marcado por lo que dijimos ayer. –Subrayé mi ironía acusándolo con un silencio y luego proseguí-. Yo no tengo costumbre de gritar a nadie, ya ves, y a veces la culpa no la tienen los demás. ¿Tú no tienes nunca la culpa? ¿Tú no metes nunca la pata? ¿Nunca te equivocas? Yo no tengo costumbre de gritar y ahora me has ofendido, y mientras tú me ofendes yo te estoy contestando con tranquilidad: de modo que algo habrías hecho el otro día para que yo te gritara; si es que te grité.

            Él guardó silencio con la boca pero habló con la mirada; y sus ojos lanzaban chispas bíblicas como fulminantes lenguas de fuego; todos lo pudieron ver.

            -Trátame con insolencia: yo no seré insolente contigo. Fáltame al respeto que yo a ti no te faltaré, ódiame si quieres: pero no conseguirás que te odie ni que se apague ni un ápice este cariño que te tengo. Pero quiero que tengas bien clara una cosa: que todo este afecto que siento no está hecho de sensiblerías vanas sino de fuerza; una fuerza cálida y comprensiva, la fuerza de la razón; que es también, por si quieres saberlo, la fuerza de la amistad.

            Y di la cuestión por zanjada. Luego seguí con la clase hasta que sonó el timbre; y supe que, en el secreto del teatro donde no hay victorias ni derrotas falsas, las razones habían removido algunas briznas de su pecho. Entonces cogí mi cartera y me dirigí al aula siguiente. 

ÚLTIMA CLASE

            La ética nos sirve para saber estar. Pero ¿cómo sabremos cuál es nuestro lugar en el mundo? ¿Cómo aprenderemos dónde, cuándo y cómo tendremos que estar en él? ¿Y por qué tenemos que estar así y no de otra manera? Hay una regla muy sencilla: estar en el lugar que te corresponde es comportarse como ese lugar te pide que te comportes. Tu lugar ante un semáforo en rojo está antes, y no después, del semáforo; porque ese semáforo te ordena que te quedes parado, te lo pide desde el código de la circulación; si estuviera en verde te pediría que avanzaras, y en ámbar te diría que te fijaras en el cruce, que tuvieras cuidado, pero ahora está en rojo. Los distintos lugares por los que pasamos nos hablan, nos dicen cómo tenemos que comportarnos. Estar bien en un sitio es comportarse como ese sitio quiere que nos comportemos.

            Estar bien en un váter público es usarlo sin mancharlo. Estar bien en el fútbol es jugar sin coger la pelota con las manos. Estar bien en clase es venir dispuesto a estudiar y no a jugar con la pelota. Estar bien en casa es respetar a tu familia. Estar bien como estás es cumplir con las normas de cada sitio, y estar en paz con las normas es obedecer a la lógica de las cosas, de los lugares: hacer lo que las cosas sirven para hacer, y no utilizarlas de manera absurda; un vaso sirve para beber, no para jugar a los dados, una biblioteca sirve para leer, no para comer, un comedor sirve para comer, no para leer, y un laboratorio no sirve para jugar sino para hacer experimentos; porque si comemos en las bibliotecas, leemos en los comedores, jugamos en los laboratorios y  miramos por los vasos, veremos mal cuando miramos, nos indigestaremos leyendo, se nos mancharán los libros y nos quemaremos con ácido. Y como hay veces que nos falta tiempo para hacer las cosas, es posible que tengamos que leer mientras comemos pero eso será excepción y no la regla; las excepciones ajustan la regla a las necesidades de cada día porque las normas sirven para vivir libres, no para encadenarnos; no es la vida la que se debe plegar a las normas, sino las normas las que se pliegan a la vida; toda norma es justa si nos facilita las cosas, y por lo tanto las que lo entorpecen todo no pueden ser normas justas.

            Pero ¿cómo podremos saber si una norma es justa? Saber estar en tu sitio, saber obedecer, saber estar en el mundo es la mejor manera de ser felices. Si necesito buscar trabajo es mejor que no vaya con la camiseta del Che, porque el empresario que me lo ofrece podría sentir la tentación de no dármelo. Si quiero jugar al fútbol es mejor que no toque la pelota con la mano, porque el árbitro pararía el juego y, si no dejo de hacerlo, me acabaría expulsando y entonces ya sí que no podría jugar. Y si utilizo un microscopio para mirar el cielo es seguro que no veré ni el cielo ni los microbios, ni las estrellas ni las células, que es para lo que está hecho el microscopio. El primer criterio para usar las cosas es la lógica, que me proporciona utilidad; el segundo, cuando no sabemos qué cosas son útiles, es la empatía. 

            Porque toda la ética se resume en un solo principio: no hagas a los demás lo que no te gustaría que te hicieran a ti. No ensucies el váter de la estación porque no te gustaría que quien lo hubiera usado antes que tú te lo hubiera dejado sucio. No te saltes los semáforos en rojo porque no te gustaría que tú, que vas correctamente por tu sitio, te chocaras con un coche que se ha saltado el semáforo cuando tú pasabas. Y no comas mientras lees el libro que te han prestado porque a ti no te gustaría que otros comieran mientras leen el libro que tú les prestaste; y te lo mancharan.

            Ésa es la empatía: ponerte en lugar de los demás para sentir como sienten ellos, para pensar como ellos piensan. Kant lo llamaba imperativo categórico. Pero hay más. El imperativo categórico te dice qué cosas debes hacer. La asertividad te dice cómo debes hacerlas. Debes hacer las cosas (no te digo cuáles) las que a ti te gustaría que te hicieran. Y cuando te piden otras que no están bien debes rechazarlas sin enfadarte. Si insultas a quien te ofrece un cigarro que atenta contra tu salud, estás abusando de él, por insultarlo; le estás diciendo las cosas de mala manera; y si aceptas, estás dejando que abusen de ti porque, por no atreverte a decir que no, permites que los demás te obliguen a hacer cosas que tú no deberías nunca hacer por ellos; lo que tienes que hacer es aprender a decir que no sin ofender a nadie, pero sin dejar tampoco que nadie te ofenda.

            La agresividad le quita paz a la vida, la sumisión le quita libertad, y la única forma de vivir libre y en paz es siendo al mismo tiempo amable y firme: eso es ser asertivo. El imperativo categórico te dice cómo debes hacer las cosas; la asertividad, cómo debes renunciar a hacerlas; recházalas siempre pensando en los demás cuando piensas en ti y no hagas a los demás lo que a ti no te gustaría que te hicieran; y, sabiéndolo, no te hagas a ti lo que sabes que no les gustaría a los demás que les hicieras. Una balanza es un dispositivo que mide un peso con ayuda de otro peso (al que llamamos contrapeso). La balanza de la ética es el saber estar, que tiene la empatía (o dicho de otro modo, el imperativo categórico) como peso y la asertividad como contrapeso; esa conducta que nunca es agresiva, pero tampoco sumisa. Veámoslo ahora con un ejemplo: la persona a la que le gusta sufrir, el masoquista.

            Entre un masoquista y alguien que no lo es hay también un punto de coincidencia: y es que los dos quieren que les hagan cosas que a los dos les gustan, aunque no sea de la misma forma; aunque uno sienta placer sufriendo y otro lo sienta evitando el sufrimiento.  

El masoquista no debe hacer sufrir a los demás so pretexto de que eso es lo que a él le gusta; tiene que dar gusto a los demás con lo que les gusta a ellos, no con lo que le gusta a él. No hacer a nadie lo que a uno no le gustaría que le hicieran significa que si a ti te gusta sufrir, pero a los otros no, no tienes por qué darles ese sufrimiento: debes darles el gusto por el placer que ambos compartís, él sin sufrir y tú sufriendo; es un placer que conseguís ambos por distintos medios; que a mí me guste sufrir no significa que yo te tenga que hacer sufrir a ti, porque a lo mejor a ti no te gusta. Lo que hay que buscar en los demás es la necesidad de estar bien y no los medios con los que cada uno se procura ese bienestar. 

            Ahora bien: no sólo hay que saber estar, sino que también hay que aprender a ser uno mismo: sin intentar adulterarse, como se adultera la mantequilla cuando pasa el tiempo y se pone rancia. ¿Sabéis por qué se pone rancia? Porque no la hemos puesto en su sitio, que es el frigorífico. Saber estar en nuestro lugar es la mejor manera de saber ser lo que cada uno es, sin adulterarse. Quien sabe que vale para la pintura, su sitio es el taller, y quien vale para la música, su sitio es el conservatorio. Hay que aceptarse como se es y no rechazarse a sí mismo, eso es el respeto. O dicho de otro modo: no basta con saber estar, también hay que saber ser en la vida.

 Si yo soy bajo de estatura sería un iluso que pretendiera ser alto, porque tengo la obligación de aceptar lo que la naturaleza me ha dado. Mírate en el espejo: ése eres tú. Acéptalo. Hazte amigo de ése que ves ahí porque él será siempre tu mejor amigo. Acepta a ese ser que tienes dentro, búscalo, encuéntralo y quiérelo mucho, porque él es quien más te va a querer en la vida. No quieras cambiarlo: cualquiera que pongas en su lugar valdrá menos que tú, siempre estará adulterado. Y tú eres quien más vale para ti, que no te quepa duda. Podrás llevar la vida de otro pero nunca la llevarás como si fuera la tuya; podrás fijarte en los demás para mejorar, podrás imitarlos para sacar lo mejor que tienes dentro, los utilizarás a ellos de modelo, pero nunca podrás cambiarte por ellos; puede que quieras ser como Beethoven porque quieres superarte como se superó él, pero sólo te superarás haciendo tus propias cosas, no las que hizo Beethoven.

Así que ya lo sabes: vive tu propia vida y no vivas nunca la de los demás; para ser tú mismo tendrás que mirarte en los demás como en un espejo, sí, y en ese espejo habrá imágenes que seguramente te ayudarán, pero no olvides que esas imágenes no son tuyas aunque te parezcas a ellas; puedes estar en ellas pero tú eres más que una imagen, tú eres tu modelo; mejorarás imitando las virtudes ajenas pero imítalas solamente para que te ayuden a ser tú mismo. Porque si quieres cambiarte por ellos acabarás adulterándote, como la mantequilla, y tu vida se volverá rancia, y no serás auténtico. 

            No me sorprendió que me dieran un aplauso cariñoso a modo de despedida. Me sorprendió, sin embargo, que la persona que más aplaudía fuera la que siempre me había rechazado, o eso era lo que yo creía: siempre seria conmigo, severa, distante, desafiante y hasta agresiva, así la recordaba yo hacía años. Ahora resultaba que, como ella, quienes más se enfrentan a nosotros tal vez sean, a la larga, quienes más se empapan con nuestras palabras; esas palabras severas, inexorables, duras, terriblemente sinceras, y siempre cargadas de cariño que son, en definitiva, las palabras donde se esconde el secreto de la ética.

CIENCIA Y CREATIVIDAD

CIENCIA Y CREATIVIDAD

            El método hipotético-racional empieza con la observación de fenómenos: por ejemplo, cuando yo veo que los perros, los gatos, las nutrias y los ratones tienen pelo, dedos, esqueleto, mamas y dientes. Me llama la atención que todos tienen pelo. Mi pregunta es: ¿qué tipo de animales tienen pelo? Viene aquí una tanda de ejemplos y contraejemplos; en ella voy examinando las distintas características que se me ocurren.

            El esqueleto. Los animales que tienen huesos tienen pelo. Pero los lagartos también tienen huesos y no tienen pelo: esta hipótesis no me vale.

            Los dedos. Los animales con dedos en las extremidades tienen pelo. Pero los pájaros tienen patas con dedos y sin embargo no tienen pelo: esta hipótesis tampoco me vale.

            Las mamas. Los mamíferos tienen pelo. Ahora sí: todos los animales con pelo que he observado (perros, gatos, nutrias y ratones) tienen en común el ser mamíferos.

            Ahora tengo que hacer la pregunta al revés: ¿todos los animales que tienen pelo son mamíferos? Busco entre los animales con pelo hasta dar con alguno que no sea mamífero: las moscas.

            De modo que todos los mamíferos tienen pelo, aunque no todos los animales que tengan pelo son mamíferos. Me voy a quedar con los mamíferos: ése es el fenómeno que voy a estudiar.

            Recapitulemos. Lo que hemos hecho se puede condensar en los siguientes pasos:

            Primero: hemos observado que algunos animales que forman parte de nuestra experiencia (perros, gatos, nutrias y ratones) tienen pelo.

            Segundo: hemos hecho una lista de características que comparten esos animales; todos ellos tienen dedos, esqueleto, mamas y dientes.

            Tercero: hemos asociado una a una estas características con el pelo en la piel y hemos descartado estas asociaciones por medio de contraejemplos.

            Cuarto: cuando hemos encontrado alguna asociación sin contraejemplos la hemos convertido en nuestra hipótesis: los mamíferos tienen pelo.

            Quinto: ahora vamos a poner la oración al revés y preguntarnos si todos los animales con pelo son mamíferos, y hemos encontrado que no; porque las moscas, que tienen pelo, no son mamíferos. Decidimos estudiar todo lo que dice la hipótesis (que los mamíferos tienen pelo), pero nada más (es decir, no nos vamos a interesar por animales que, como la mosca, tienen pelo sin ser mamíferos). Vamos a buscar mamíferos desconocidos (o que no forman parte de nuestra experiencia) y buscar pelos en su piel. Nos fijaremos en los leones, los tigres, los elefantes, los hipopótamos y los cetáceos y estudiaremos su piel: a ver si tienen pelo.

            Si para formar la hipótesis hemos conectado la característica de tener pelo con alguna otra característica (tener huesos, dedos, dientes o mamas) y hemos postulado el binomio pelo-mamas, ahora debemos averiguar si este binomio se da también en animales desconocidos como los cetáceos, el dragón de Komodo, los hipopótamos o el pangolín.

            Hemos observado cierta cantidad de animales que compartían una cualidad: ser peludos.

            Hemos relacionado esta cualidad con otra: la de ser mamíferos.

            Ahora tenemos que ampliar la cantidad de animales observados para ver si la relación entre estas dos cualidades se mantiene. 

            Es decir que tenemos que pasar de unos pocos animales observados (algunos mamíferos tienen pelo) al conjunto de todos ellos (todos los mamíferos tienen pelo). O sea que junto a los animales que conocemos bien (el perro y el gato, por ejemplo) tenemos que observar animales que o bien no los conocemos (como el pangolín) o bien los conocemos mal (como el rinoceronte y los delfines). Si se comprueba que todos tienen pelo habremos comprobado (demostrado) nuestra hipótesis.

            Pero esta demostración no es definitiva, porque siempre nos quedarán mamíferos por conocer.

            Los pocos animales con pelo que tenemos a la vista comparten una serie de cualidades (dientes, pelo, huesos, mamas): ésa es la parte conocida. Luego hemos tenido que buscar cuál o cuáles de esas cualidades están relacionadas con el pelo: es la parte desconocida, que cuando acabamos conociéndola se convierte en descubrimiento (es la asociación pelo-mamas: descubrimos que la característica de tener pelo en la piel corresponde a los mamíferos). Y entonces el conocimiento de que mamíferos como el perro, el gato, la nutria o el ratón tienen pelo se convierte en la parte observada; a partir de ella tenemos que llegar a un nuevo descubrimiento, esta vez cuantitativo (decimos también: en extensión): descubrir mamíferos nuevos y comprobar si tienen pelo; cuantos más descubramos más corroborada estará la hipótesis, aunque nunca estará demostrada del todo (nunca sabremos si ya no nos quedan mamíferos por descubrir).

            A la parte conocida, tanto si es cuantitativa o en extensión (número de animales observados) como en comprensión, es decir cualitativa (cualidades o características observadas en esos animales), la podemos llamar de varias maneras: parte observada, datos, parte empírica o suelo empírico, realismo, exploración.

            A la parte desconocida, tanto cuantitativamente (número de animales que nos quedan por observar) como cualitativamente (cuáles son las cualidades que tenemos que relacionar, en este caso pelo-mamas), también la podemos llamar de varias maneras: parte inventada, especulación o parte especulativa, creación racional o incluso fantasía; techo especulativo, en definitiva.

            Al descubrimiento cuantitativo lo llamamos inducción, y normalmente las inducciones científicas suelen ser incompletas porque el número de individuos y de especies es potencialmente infinito: por muchos cuervos negros que hayamos visto siempre nos quedarán muchos otros por ver, y no sabemos si algún día aparecerá alguno que no sea negro.

            Al descubrimiento cualitativo lo llamamos creación o construcción especulativa, y podemos llegar a él por intuición, deducción, hábito o analogía; en todos estos casos puede ser de manera consciente (razonamiento) o inconsciente (imaginación, inteligencia intuitiva). El pensamiento inconsciente responde seguramente a lo que los psicólogos llaman insight o comprensión súbita y los metafísicos prefieren llamar iluminación, que es como una fulguración mental, una inspiración, una corazonada, un destello. 

            La observación con la que empiezan las investigaciones empíricas es la exploración previa de la realidad, y puede ser intencional o espontánea. Intencional: cuando quiero resolver un problema. Espontánea: cuando la realidad me plantea problemas percibiendo, en mi experiencia cotidiana, cosas por las que inicialmente no tenía ningún interés. Cuando nos fijamos mucho en las cosas lo que hacemos es escrutarlas, acercarlas a nuestra vista, desmenuzarlas: y eso es lo que habitualmente llamamos análisis.

            Lo que hemos llamado hipótesis viene a ser una iluminación, una revelación donde la realidad oculta se nos aparece, que puede tener más de creación (si la idea ha sido construida por nosotros) o de descubrimiento (si nos es más bien impuesta por la realidad, dada por los hechos). Se trata de síntesis a partir de los fenómenos observados, como cuando juntamos las características “pelo” y “mamas” para formar la proposición “todos los mamíferos tienen pelo”.

            Las predicciones son consecuencias deducidas de la hipótesis, a menudo como efectos causados por ella. Puede ser inductiva o creativa.

            a) Inducción. También se trata aquí de una revelación, pero mientras que en la hipótesis lo que se revela es una relación entre dos cualidades (pelo-mamas), en la predicción lo que se revela son cantidades nuevas de individuos, por ahora desconocidos, que comparten este binomio: y esto es lo que hemos llamado inducción.

            b) Creación. También, como en la hipótesis, pueden hacerse deducciones, inducciones, asociaciones creadas por el hábito y analogías; sólo que, en vez de partir de una característica (el pelo) para buscar otra (las mamas), aquí partimos de un par de características (pelo-mamas) para buscar una tercera (por ejemplo la crianza: los mamíferos crían a sus hijos, los reptiles y los peces no). El aspecto creativo, intuitivo, racional o imaginativo está en que no sabemos, de entre todas las cualidades en número elevado y a veces infinito, cuál es la que tenemos que elegir; y por eso la imaginación interviene tanto o más que la lógica en la creatividad; lo conseguimos variando el enfoque para mirar, porque si la hipótesis funciona como un faro que nos deja ver, la intuición (más que la inducción) nos va diciendo, razonadamente o por tanteo, hacia dónde tenemos que enfocarlo.

            Lo que llamamos contrastación es el cotejo de las hipótesis (o, si no se puede, de algunas de las consecuencias predichas por la hipótesis) con la realidad: esto es el experimento. Si la factura de la luz es menos cara en verano puedo suponer que es porque en invierno consume mucho la calefacción eléctrica; de ahí puedo predecir que cuando vuelva el invierno volveré a consumir más, y si eso sucede, será que mi previsión era acertada. Y si la lluvia quema los campos puedo imaginar que tal vez sea por el humo de las fábricas; dependiendo de los productos de desecho de la fábrica que hay al lado puedo anticipar que, analizada en el laboratorio, una gota de lluvia tendrá rastros del ácido correspondiente: si el resultado es conforme a lo predicho, el experimento habrá sido concluyente.

            Las predicciones que han sido comprobadas las vamos almacenando en un libro de leyes de la naturaleza. Cuando vamos descubriendo relaciones de dependencia entre unas leyes y otras descubrimos también unas pocas de las que se pueden deducir todas las demás, y entonces formamos una teoría; una teoría es un conjunto de conocimientos ordenados según una estructura determinada. Las teorías científicas se están comprobando continuamente. A menudo construimos estructuras matemáticas para ordenarlas mejor y las convertimos en teorías axiomáticas. Una teoría es un sistema que contiene un conjunto de elementos dotados de una estructura que los ordena; la teoría de Newton recoge las leyes de la mecánica de los sólidos; la de Darwin estudia la evolución de las especies explicada por selección natural; la de Fernand Braudel ordena los acontecimientos históricos a partir de la estructura de las tres temporalidades; y así sucesivamente.