Breviario de filosofía.

 

MATEMÁTICAS

  

            Al igual que la filosofía, la religión y el saber popular, las matemáticas tampoco contrastan sus ideas; las cuales son en su mayoría deducciones, aunque también exista la inducción matemática y los matemáticos razonen por analogía. Tal vez podríamos afirmar que, dentro del método hipotético-racional, no sólo omiten el cuarto paso (la contrastación), sino también el primero (la observación desde la experiencia); de modo que las fases dos y tres (la hipótesis y sus consecuencias) se quedan como un ejercicio del pensamiento al margen de la realidad; si comparamos la hipótesis y sus predicciones con un cuerpo, y la observación y la contrastación con patas que lo sostienen en el suelo, resultará que las matemáticas son un cuerpo de pensamientos que flotan en el aire, sin ningún contacto con la realidad física. Lo curioso es que las cosas que descubren los matemáticos están en la realidad, como las curvas descubiertas por análisis, los fractales y la serie de Fibonacci. Hay curvas que, por raras que parezcan, corresponden a fenómenos físicos, como las curvas de flujo plano con torbellinos se materializan en fluidos con su vórtex. Los fractales, por ejemplo aquellos que son más que una línea pero menos que una superficie, corresponden a las playas, donde no existe una línea clara que marque la separación entre el agua y la arena. Y la serie de Fibonacci se manifiesta en caracolas de moluscos en forma de hélice y en la disposición de los pétalos en la flor o de las hojas alrededor del tallo.

            ¿Cómo es posible que las matemáticas, que no se basan en el estudio de la realidad física, descubran estructuras que se manifiesten en esa misma realidad? ¿Casualidad? ¿O es que todas las hipótesis que podamos construir en el aire ya existen en la realidad de todos los días? ¿Será que el pensamiento y la naturaleza están conectados, de tal manera que no podemos pensar en nada que no exista ya en la naturaleza aunque nosotros no lo sepamos?

            Las matemáticas contienen formas de inferencia que son los esquemas de pensamiento que utilizamos todos: su estudio es la lógica. Pero también contiene cosas que existen en la realidad, aunque su existencia sea abstracta: esos contenidos son formas del espacio (geometría, topología) y del tiempo (aritmética, álgebra); otras, como la geometría analítica, son mixtas.

            Ha habido matemáticos (como Russell) que creyeron que en la matemática no hay más que lógica; otros (como Hilbert) postularon, por el contrario, que la matemática es mucho más que lógica y que la lógica es sólo una parte de las matemáticas. Sea como fuere, las lógicas clásicas y no clásicas y la teoría de conjuntos (los clásicos y los borrosos), aunque los descubramos en filosofía (la mayoría de las veces sin comprenderlos), se desmenuzan de verdad estudiando matemáticas.

            El método conclusivo, aplicado a las ciencias empíricas, lo hemos llamado método hipotético-racional; tiene dos patas agarradas al suelo; cuando le falta una de ellas (la contrastación) se queda cojo y entonces se convierte en filosofía; pero si le quitamos la otra (la exploración de la realidad), flota sobre el mundo diciendo cosas que parece que no tienen que ver con él: y convertimos la ciencia y la filosofía en matemáticas. A menos que la realidad que explora no sea ni la del mundo exterior ni la del interior, pero no deje, sin embargo, de ser realidad; en lugar de ver, oír, oler y tocar objetos, y de sentir alegría o tristeza y placer o dolor y experimentar en el recuerdo realidades que no están presentes; en lugar de todo eso, acaso la realidad que estudian las matemáticas sean las formas de la experiencia, interna y externa, al margen de las sensaciones; al margen de las percepciones y del placer y el dolor; los contenidos de las matemáticas son las formas comunes a esas sensaciones, originariamente relacionadas con la vista y el equilibrio: líneas, contornos, tamaños, ordenados todos por los tres canales que tenemos en el laberinto, las tres dimensiones del espacio, que son la base de la geometría euclidiana. Nosotros vemos las cosas en relieve, pero en el mundo hay cosas que tienen profundidad y cosas planas; por eso hasta las cosas planas, como una hoja de papel, tienen espesor; y si miramos con atención por sus bordes, primero a simple vista, luego con lupas de distintos aumentos y al final con un microscopio, descubriremos que esa superficie tiene también profundidad, pero una profundidad delgada. 

            La mayoría de las reacciones químicas que se producen en nuestro cuerpo son irreversibles; es decir que los reactivos se convierten en productos, pero no puede suceder al revés; la gasolina quemada por el motor de un coche sale convertida en humo sucio por el tubo de escape; pero no podemos volver a meter ese humo por el mismo tubo para que el depósito se vuelva a llenar de gasolina. Esa experiencia de que muchas de las cosas que suceden no pueden repetirse, como si la vida fuera una cinta cinematográfica que proyectamos al revés para ver subir desde el suelo los objetos que, cuando la cinta es visionada al derecho, caen al suelo: esa experiencia nosotros la llamamos tiempo; el tiempo no se ve, pero vemos las cosas que son arrastradas por él; es como si el tiempo fuese un río que sólo fluye de la montaña al mar, de arriba abajo, y nunca al revés; nosotros estamos sentados en la hierba pero si nos caemos al río, el río nos lleva muy lejos de donde estábamos sentados; y no volveremos atrás porque, aunque vayamos a contracorriente en una lancha con motor, cuando regresemos al mismo sitio ya no somos como éramos antes; podemos viajar en el espacio pero no en el tiempo, el tiempo es como un espacio en movimiento, si nosotros nos movemos en el espacio el tiempo se mueve en nosotros: no somos nosotros los que nos movemos en el tiempo.

            Pues bien: el paso del tiempo son las gotas de agua o los granos de arena que van cayendo en un reloj de arena, en una clepsidra; es una experiencia discontinua que tenemos del tiempo.

            Pero también hay experiencias continuas del tiempo; la que se tiene, por ejemplo, en un reloj de sol: la sombra se va moviendo en la superficie de manera gradual, sin dar saltos, sin que la podamos contar como contamos las gotas de agua o los granos de arena. Los relojes eléctricos y mecánicos, tanto analógicos como digitales, nos dan también una visión discontinua del tiempo: podemos contar sus tic-tacs como contamos los latidos del corazón en sístole y diástole; o como contamos nuestra respiración en inspiraciones y espiraciones.

            Contar gotas de arena, gotas de agua, tic-tacs, sístoles y diástoles o inspiraciones y espiraciones es hacer aritmética; cada gota o grano que contamos es una unidad; y tenemos la sucesión de los números enteros: que los llamamos naturales cuando los contamos desde cero en adelante, no desde cero para atrás; los números negativos son un artificio para contar, hacia atrás, el tiempo que ya ha pasado, no el tiempo que está pasando.

            Pero si queremos poner en relación el reloj de arena con el reloj solar estaremos poniendo en correspondencia el tiempo discontinuo con el continuo, para ver cuántos granos caen mientras la sombra se desplaza entre dos marcas que hayamos hecho en la superficie del reloj solar; dos marcas colocadas, generalmente, a la distancia de una hora. Pues bien, al relacionar cantidades discretas (unidades de granos de arena) y cantidades continuas (superficies acotadas por donde se desplazan las sombras), la aritmética y la geometría se funden en geometría analítica: y aparece el concepto de infinitésimo, de diferencial y de asíntota. 

            La geometría también se puede medir en el tiempo: cuando convertimos una línea en una sucesión de puntos pegados entre sí que, cuando los miramos con una lupa, descubrimos que no están pegados y que entre punto y punto también podemos poner muchos puntos; y así sucesivamente. También podemos hacer eso con el tiempo: entre dos puntos de la línea del tiempo (esto es, entre dos instantes), caben, si los miramos con detenimiento, muchos instantes sucesivos, y entre instante e instante hay intervalos o lapsos más pequeños. Newton utilizaba los instantes y con su física se pueden calcular velocidades instantáneas; Einstein, sin embargo, les negaba realidad a los instantes, como si no existieran.

            Sea como fuere podemos decir, en primera aproximación (aunque luego afinemos mucho más), que la aritmética es el estudio del tiempo mientras que la geometría lo es del espacio. Los objetos que constituyen el objeto de la matemática (unidades, intervalos puntos, líneas, superficies, volúmenes y desplazamientos) son objetos sacados de la experiencia; extraídos de ella o más bien abstraídos, separados del color, el tacto, el gusto, el sabor, el placer o el dolor como cuando separamos un prisma de una caja: arrancándolo de ella, o más bien copiándolo en el espacio mental como reflejo de la figura arquetípica que esa misma caja copió en el espacio físico de otro espacio ideal que existía fuera del tiempo. Admitir estas cosas sería profesar un platonismo matemático.

            De modo que la matemática es mucho más que lógica. Las proposiciones lógicas que representamos mediante las letras p, q, r… están vacías; no tienen contenido; una letra puede referirse a cualquier cosa, depende de cómo la interpretemos y según qué universos del discurso. Las variables, ya sean proposiciones o predicados, conjuntos o relaciones, son como cajas que todavía no hemos llenado con nada. Pero las constantes lógicas sí tienen contenido: una disyunción es una elección entre dos mundos alternativos, una conyunción es una existencia conjunta en el mismo mundo, un condicional es una dependencia y una negación es una inversión (negar conyunciones es afirmar disyunciones, que son sus contrarias).

            Si la lógica utiliza variables vacías con constantes dotadas de contenido, la matemática tiene a la vez variables y constantes dotadas de significado, y por lo tanto de contenido; una “x” en una función puede tomar cualquier valor pero no está vacía, y su contenido pueden ser números naturales o complejos, según sea su dominio de definición. Ahora bien los contenidos de la matemática no se pueden ver en la naturaleza, como les sucede a los de la física; no forman parte ni de la experiencia exterior ni de la interior (esto último sería historia, ciencia, arte o psicología). No: los contenidos de la matemática son anteriores a toda experiencia, son contenidos a priori. A priori, pero los captamos, al principio, vertidos en la experiencia. El niño percibe líneas y cubos en los bloques lógicos y las regletas de colores, pero no sabe que los percibe, no se da cuenta de ello, todavía no los sabe nombrar; a medida que crece los irá captando cada vez mejor, irá separando sus formas de los objetos, los irá abstrayendo y les dará nombres, y entonces empezará a operar con objetos matemáticos, no ya con objetos físicos. Es decir que los objetos matemáticos se conocen a través de la experiencia pero no proceden de la experiencia; son a la vez a posteriori y a priori, empíricos y al mismo tiempo innatos. Pero no está claro (esto sería un kantismo sin Kant, platonismo más bien) que haya objetos a priori que sean también sintéticos; objetos cuyo significado no se pueda descubrir por análisis. Aunque este extremo hay que discutirlo más despacio; porque estudiar el concepto de línea es descubrir lo que ya sabíamos pero no recordábamos; no descubrir, como supone Kant, cosas que no supiéramos antes; el concepto de juicio sintético como ampliación de mi conocimiento corresponde a los descubrimientos matemáticos, pero esto no significa que mi experiencia sea sintética; descubrir una propiedad de la línea no es poner en ella algo que no contuviera ya, sino ver algo que estaba allí aunque aún no la viéramos, como descubrir una veta de hierro en una roca es dejarla al descubierto con pico y pala porque esa veta no afloraba a la superficie: al ponerla al descubierto nosotros no la ponemos allí, nosotros no la construimos, no la creamos; sólo la descubrimos, porque allí estaba antes de que llegáramos nosotros. Analizar es poner a la vista propiedades que estaban ocultas, no poner en los objetos propiedades que esos objetos no tuvieran ya. Descubrir es ampliar nuestro conocimiento, analizar los objetos y ver con la lupa lo que no veíamos a simple vista. Hay lupas de vidrio para ver los objetos de la experiencia, pero para ver los objetos innatos tenemos también lupas mentales. 

            Lo que Hume llamaba relaciones de ideas Kant lo llama proposiciones analíticas, y lo que Hume llamaba cuestiones de hecho Kant lo llama proposiciones sintéticas. Descubrimos la verdad de las cuestiones de hecho comprobando si lo que decimos corresponde a lo que existe en la realidad, como para saber si llueve tenemos que salir a la calle o mirar por la ventana; y descubrimos si las relaciones de ideas son verdad estudiando si son coherentes o absurdas, tautológicas o indeterminadas; coherentes (llueve si hay nubes); absurdas (el viento movió las velas del barco un día que estaba la mar en calma); tautológicas (hablar de círculos equivale a mencionar radios equidistantes del centro); e indeterminadas (si estudio aprobaré). La verdad por correspondencia o adecuación corresponde a las proposiciones sintéticas. La verdad por coherencia, a las proposiciones analíticas.

            “Pedro tiene un jersey rojo” es una proposición sintética. Sintética porque por mucho que analice el concepto de “Pedro” nunca descubriré en él jerseys rojos; a menos que descubra que tiene predilección por el rojo y que los jerseys sean su prenda preferida para vestir: si es así, analizando a Pedro descubriré que ponerse jerseys rojos forma parte de su personalidad. Es lo que hacen los detectives. Y la policía. Aquí la proposición es analítica.

            Pero si se ha puesto el primer jersey que ha visto en su armario está vistiendo de rojo por pura casualidad, y por mucho que estudie su psicología nunca descubriré que vestir de rojo forme parte de él; es un hecho circunstancial. En este último caso la proposición es sintética.

            En ambos casos descubrir que Pedro viste de rojo amplía mi conocimiento. Pero en el primero lo que al principio se me presenta como sintético resultará, en un estudio más profundo, analítico; en el segundo caso no pasará de sintético.

            Dicho de otro modo: no podemos definir lo sintético como aquello que amplía mi conocimiento, sino como el descubrimiento de fenómenos que se añaden (sea forzándolos, o bien fortuitamente) a la naturaleza de otros fenómenos, pero sin formar parte de ella.

            Porque descubrir las cosas analizándolas también es ampliar nuestro conocimiento; y no son proposiciones sintéticas. Unas veces analizando el lenguaje: la hipertensión es alta; el miocardio es el músculo del corazón; la artrosis es deformación articulatoria. Otras, analizando los fenómenos: la sangre contiene glóbulos rojos (no hay sangre que no los contenga); el cerebro contiene neuronas (descubrirlas es analizar el cerebro, como, entre otros, hizo Cajal); el agua se puede disociar por electrólisis (la posibilidad de la electrólisis estaba ya en la naturaleza del agua, aunque no lo supiéramos, porque el agua es un compuesto); o el rayo procede de la actividad eléctrica de una atmósfera cargada. 

            En estos casos descubrir es analizar; y no parece que Kant se haya fijado mucho en esta forma, no sintética, de ampliar nuestro conocimiento.

            Sea como fuere, y volviendo a las matemáticas, podemos postular (Hegel ya lo había hecho) que todo lo que existe tiene una razón de ser; y que cada vez que descubrimos algo nuevo ampliamos nuestro conocimiento del sujeto con predicados nuevos; pero añadir predicados a un sujeto no es ponerlos en él, sino descubrirlos, porque siempre habían estado allí; estudiar, investigar, descubrir es sumar predicados a nuestro conocimiento; pero la realidad tiene los mismos predicados antes y después de nuestros descubrimientos, porque cuando descubrimos cosas cambiamos nuestros conocimiento de las cosas, no cambiamos las cosas mismas.

            Volviendo a donde estábamos, recordemos que nuestros conocimientos pueden ser empíricos o innatos; los primeros son propios de las ciencias naturales y sociales; los segundos proceden de la lógica si tienen contenidos a priori (las constantes lógicas) aplicados a variables vacías; y de la matemática, si las constantes lógicas se aplican a variables que contienen trozos de espacio y tiempo separados de la experiencia espacio-temporal de los objetos

            Y volviendo otra vez sobre nuestros pasos, recordemos que la matemática consiste en hipótesis y deducciones sin conexión con la experiencia ni al principio ni al final de los razonamientos; hemos visto que de las cuatro fases del método conclusivo, vertidas en el método hipotético-racional, a la matemática le falta la primera (observación) y la última (contrastación); y consiste sólo en pensamientos flotantes sobre la realidad.

            El procedimiento más usado por los matemáticos es la deducción. Una deducción es un pensamiento que va de lo general a lo particular (si todos los seres humanos son mortales y si Sócrates es un ser humano, entonces Sócrates es mortal). Pero también la podemos definir como un pensamiento seguro, infalible, correcto y válido.

            Hay varias formas de hacer deducciones, pero todas tienen en común que numeran uno a uno todos sus pasos para no perder nuca el hilo. Deducimos cuando aplicamos el teorema de la deducción, cuando hacemos demostraciones por el absurdo, cuando hacemos pruebas pos casos… Vamos a ver, como botones de muestra, unas deducciones.

            Teorema de la deducción. Se basa en que si una cosa lleva a otra y si sucede la primera, tendremos que aceptar que también sucederá la segunda. Veámoslo con un ejemplo:

(1)   Si llueve y hace frio soplará el viento.

(2)   Y si sopla el viento volarán las hojas.

(3)   ¿Se deduce de ahí que si llueve y hace frío volarán las hojas?

(4)   Supongamos que, efectivamente, llueve y hace frío.

(5)   Entonces soplará el viento, como hemos visto en el paso número (1).

(6)   Y volarán las hojas: que es lo que se ha dicho en la línea número (3),

(7)   Por lo tanto era verdad (línea (3)) que cuando llueve y hace frio vuelan las hojas; eso era lo que queríamos demostrar.

            Reducción al absurdo. Se basa en que si negamos lo que queremos demostrar y llegamos a conclusiones absurdas, ésa es la mejor prueba de que no lo podemos negar. Afirmemos, por ejemplo, que siempre que llueve hay nubes y que ahora no hay nubes: ¿significa eso que no llueve? ¿Qué pasaría si lloviera? Demostremos que, si lloviera, nos acabaríamos contradiciendo y, por lo tanto, diciendo tonterías.

(1)   Si llueve es porque hay nubes.

(2)   Y resulta que hoy no hay nubes.

(3)   ¿Se deduce de ahí que no llueve?

(4)   Supongamos que lloviera: ¿qué pasaría entonces?

(5)   Que habría nubes.

(6)   Pero en la línea (2) hemos admitido que no las hay.

(7)   Estamos admitiendo a la vez que hay nubes y que no las hay: líneas (5) y (2).

(8)   Por lo tanto no podemos afirmar que llueve: no llueve, contrariamente a lo que suponíamos en la línea (4).

Veamos otro ejemplo de reducción al absurdo. Se trata ahora del siguiente problema: ¿podemos decir que √2 es un número irracional? Recordemos que si al negarlo llegamos a una contradicción, es que no podemos negarlo. (Contradecirse es decir a la vez una cosa y su contraria, como que está nublado pero no hay nubes). Veamos un ejemplo:

(1)   ¿Es √2 un número irracional? Supongamos que no; por lo tanto √2 es un número racional.

(2)   Entonces es el resultado de dividir dos números que a su vez sólo se pueden dividir por 1.

√2 = a/b, con m.c.d. (a, b) = 1.

(3)   Si elevamos al cuadrado cualquier igualdad el resultado no varía. Veamos un ejemplo:

4/2 = 2

(4/2)² = 2²

16/4 = 4

4 = 4

                  Apliquemos esta operación a nuestro número √2 = a/b:

                        (√2)² = a² /b²

                        2 = a² / b²

(4)   Despejando obtenemos que 2b² = a²

(5)   O lo que es igual: 2b = a.

(6)   Por lo tanto a es un número par, dado que es el doble de b, y el doble de cualquier número siempre es par.

(7)   Y un número par se puede dividir entre dos; por lo tanto, su máximo común divisor ya no es 1, sino 2.

m.c.d. (a, b) ≠ 1

(8)   Pero en nuestro paso número (3) habíamos afirmado que m.c.d. (a, b) = 1: hemos llegado, pues, a una contradicción; en (2) y en (7) estamos afirmando una cosa y su contraria.

(9)   Por lo tanto no podemos negar que √2 sea un número irracional, como habíamos hecho al principio, en el paso número (1); √2 es, pues, irracional; lo acabamos de demostrar por reducción al absurdo.

También se utiliza la inducción en matemáticas. Podemos definir la inducción como un pensamiento que va de lo particular a lo general (después de ver muchos cuervos negros llego a la conclusión de que todos los cuervos son negros). Pero no podemos construir un conjunto completo con una de sus partes, no podemos pasar legítimamente de muchos a todos: es como si quisiéramos construir un edificio solamente con unos pocos ladrillos; yo he visto muchos cuervos y todos eran negros, pero no puedo asegurar que no haya cuervos blancos que no han pasado nunca delante de mí: por eso la inducción es un razonamiento probable, y no tiene la seguridad que tienen las deducciones. 

Eso pasa con las inducciones que hacen las ciencias naturales; la inducción matemática es otra cosa: la inducción matemática es tan segura como las deducciones y lo vamos a ver en seguida con un ejemplo.

Inducción matemática. Por el principio de inducción matemática podemos subir tan alto como queramos por una escalera, si demostramos que podemos subir el primer peldaño (el “caso base”) y que desde cada peldaño podemos subir al siguiente (paso inductivo).

Se habla de recurrencia cuando cualquier cosa que digamos de un número depende de números anteriores; es lo propio de las inducciones matemáticas.

Primer ejemplo: si tenemos alineadas un montón de fichas de dominó y empujamos la primera, ésta no sólo empujará a la segunda, sino que la segunda empujará a la tercera y ésta a su vez a la siguiente hasta que caigan todas.

También tiene esta estructura la paradoja del montón: si tengo un montón de un millón de granos de arena y quito un grano y luego otro y otro y otro… cuando sólo me quede un grano seguiré teniendo un montón, por pequeño que sea.

La matemática utiliza, por consiguiente, inducciones y deducciones con una seguridad infalible; llegamos a decir cuando algo es infalible que tiene una seguridad matemática, que sus posibilidades de acierto poseen la eficacia de un automatismo ciego. “Esto es matemático”, “es automático”, dice la gente de la calle; cuando haces esto, “automáticamente” sucede esto otro: como en las deducciones. Y si las matemáticas se utilizan en las ciencias empíricas (física, química, biología, sociología e incluso lingüística) tenemos la impresión de que no pueden fallar.

¿Y si las matemáticas fallaran? ¿Y si su edificio se tambaleara? ¿Qué sucedería si nos subiéramos a un edificio de hormigón y, por las razones que fueran, sus paredes y sus cimientos se tambalearan? Inesperadamente a las matemáticas les ha sucedido eso. Siempre ha habido paradojas que han puesto a prueba la solidez de sus razonamientos. Pero en los albores del siglo XX un joven filósofo llamado Bertrand Russell descubrió una paradoja inquietante.

Paradoja de Russell.

(1)   Llamemos M a todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, como por ejemplo: un catálogo (los catálogos son libros que hablan de los otros libros de la biblioteca, pero no se mencionan a sí mismos); un barbero (el barbero es el que afeita a los que no se afeitan), y así sucesivamente. En matemáticas el símbolo “∉” significa “no contenerse a sí mismo”, “no ser miembro de sí mismo”, y el símbolo “|” significa el pronombre relativo “que”. Entonces podríamos escribir:

M = {x | x ∉ x}

que se lee así: “M es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos”; M contiene catálogos, barberos, etc.

(2)   Sabemos que x no es elemento de sí mismo, o lo que es lo mismo: no se contiene a sí mismo como elemento. ¿Le pasa lo mismo a M?

(3)   Si M se contiene tendríamos, por la definición (1), que:

M ∉ M

      O sea que si se contiene  (M ϵ M) no se contiene (M ∉ M).

(4)   Y si no se contiene tendríamos, por esa misma definición, que:

M ϵ M

      Es decir que si no se contiene (M ∉ M) entonces se contiene (M ϵ M). 

(5)   En ambos casos se llega a una contradicción. Ilustrémoslo con el ejemplo del barbero (la paradoja de Russell pasa a llamarse entonces paradoja del barbero), que dice así: en un pueblo sólo hay un barbero que afeita a los que no se afeitan; ¿quién lo afeita a él? ¿Se afeita él solo? Entonces en virtud de la definición no sería barbero, porque el barbero sólo afeita a los que no se afeitan; y si fuera barbero no se afeitaría, en virtud de su propia definición; de tal manera que tenemos que acabar concluyendo que si se afeita no se afeita y si no se afeita, se afeita.

Se han hecho varios intentos de resolver este problema: todos sin éxito. Finalmente Kurt Gödel demostró que esa solución no existe; la conclusión del teorema de Gödel es que la paradoja de Russell no tiene solución; y que las matemáticas, que son los pilares de la ciencia, de momento parece que se sostienen pero no sabemos si algún día se caerán. Tenemos la convicción moral de que eso no sucederá nunca, pero nadie lo puede demostrar. La ciencia se apoya sobre unas bases (la matemática) de fortaleza descomunal, y aunque estemos casi seguros de que no se va a romper, nada ni nadie nos garantiza que no haya fuerzas más fuertes que ella; es improbable, prácticamente imposible, pero siempre nos quedará la duda. 

Esto es lo que podemos decir de la lógica de las matemáticas; de la herramienta, esencialmente deductiva, que utiliza; la deducción es para el matemático lo que el cincel es para el escultor y la cámara para el fotógrafo o el cineasta. Pero las matemáticas también tienen su método. Como ya hemos visto que consisten en pensamiento desligado de la realidad y flotan, en cierto modo, sobre ella, en matemáticas no puede haber más que hipótesis y deducciones, como querían Aristóteles, Parménides y Descartes. Sólo que las hipótesis son conjeturas a las que los matemáticos llaman postulados. Y están construidos de tal manera que con sólo unos pocos podemos construir edificios enormes: por eso se llaman axiomas; fue lo que hizo Euclides, que con unos pocos axiomas fue deduciendo en forma de teoremas todos los conocimientos matemáticos de su tiempo; axioma quiere decir que no se puede deducir de nada, y por lo tanto es indemostrable; teorema, que se deduce a partir de los axiomas o de otros teoremas deducidos antes.

Es el método axiomático. Sirve para ordenar perfectamente el edificio del saber haciendo que unas verdades dependan de otras, o estén dentro de ellas, como unas cajas en otras y hasta se incluyan muchas dentro de algunas como si fueran un juego de muñecas rusas.

Vamos a exponer uno de los primeros sistemas axiomáticos que se conocen: el de Parménides. No está formalizado, de modo que no se expresa con símbolos abstractos sino con palabras del lenguaje cotidiano. Consta de dos axiomas y unos cuantos teoremas (aunque Parménides no utiliza las palabras “teorema” y “axioma”); veámoslo rápidamente.

Axioma 1: el ser es.

Axioma 2: el no-ser no es.

Pregunta 1: ¿se mueve el ser?

Respuesta:

(1)   Si el ser se moviera iría hacia el no-ser (hipótesis).

(2)   Pero el no-ser no existe (axioma 2).

(3)   Luego el ser no se mueve (teorema 1).

Pregunta 2: ¿el ser tiene partes?

Respuesta:

(1)   Si las tuviera estarían separadas por el no-ser (hipótesis).

(2)   Pero el no-ser no existe (por el axioma 2).

(3)   Luego el ser es atómico, no puede dividirse (teorema 2).

Pregunta 3: ¿hay un ser o varios?

Respuesta:

(1)   Si hubiera varios seres estarían separados por el no-ser (hipótesis).

(2)   Pero el no-ser no existe (por el axioma 2).

(3)   Luego sólo hay un ser, no varios (teorema 3).

Y así sucesivamente.

Hemos descubierto, sólo con el pensamiento, tres cosas: que sólo hay un ser, que no tiene partes y que está inmóvil. ¿Qué la experiencia nos dice que hay muchos seres divisibles y casi todos se mueven? Peor para la experiencia. La experiencia nos muestra cosas y el razonamiento nos demuestra que son falsas; mostrar es más que demostrar, la verdad por correspondencia palidece ante la verdad por coherencia, y no pueden existir, aunque nosotros las veamos, cosas que son contradictorias. ¿Existen roedores que no tengan incisivos? Imposible. Pero yo los he visto. Pues te engañas. Tienes que aprender a dudar de lo que ves, si lo que ves son cosas absurdas. 

Un sistema axiomático es, así, una forma de ordenar nuestros conocimientos. En la Grecia clásica había muchos teoremas matemáticos sueltos; pero Euclides los hizo depender unos de otros, creando estanterías mentales y colocando cada uno en el estante adecuado. Si queremos buscar el Canto general en una biblioteca tendremos que dejar de lado el apartado de ciencias, artes y otros para centrarnos en el de literatura; dentro de él miraremos en la poesía, y dejaremos de lado el teatro o la novela; dentro de la poesía habrá varias clasificaciones posibles, puede ser por autores, por países, por épocas, siempre por orden alfabético; y pueden estar por autor o por título; finalmente en la C encontraremos Canto general o en la N buscaremos a Neruda.

Un sistema axiomático es algo parecido: una clasificación para ordenar las leyes científicas y así poder encontrarlas sin esfuerzo. Pero es algo más: es algo así como un árbol genealógico donde se ven brotar unas ramas de otras. Uno busca la rama primitiva de la que surgieron todas las demás (Tales la puso en el agua, Anaximandro en el ápeiron, Heráclito en el fuego). Pero pronto nos damos cuenta de que esa rama no existe, y en la noche de los tiempos el origen está en varias ramas: Empédocles las buscó en los seis elementos, Anaxágoras en las semillas y Leucipo en los átomos. Mas no basta con encontrar las raíces de las cosas, también tenemos que encontrar cómo hacer las operaciones de las que puedan salir el resto de las leyes; y lo mismo que en un árbol hay varias raíces que se unifican en el tronco para dispersarse luego en las ramas, así también Euclides tomó como raíces los tres principios de Aristóteles (identidad, no-contradicción y tercio excluso) para unirlos a otras raíces propias de la geometría (axiomas y definiciones) y extraer de ellos, o conducir con ellos, hasta los lugares donde van apareciendo los teoremas. Y cuando ya en el tronco no caben tantas ramas ni en las ramas tantas hojas, el árbol vierte sus semillas y nace en el suelo un árbol nuevo; o varios; y así, de la geometría de Euclides fueron naciendo geometrías no euclídeas, como las de Lobatchevsky y Riemann. Del mismo modo, del árbol de Newton nacieron después el de Einstein y el de Planck.

De modo que un sistema axiomático es algo así como una casa con muchas habitaciones, un árbol con muchas ramas, un principio generador o un árbol genealógico. Funciona como un traje. Toda persona realza sus atractivos con el traje que se pone, y toda ciencia realza sus teorías vistiéndolas y calzándolas con sistemas axiomáticos; y así como cenicienta tenía los zapatos más pequeños de todos, así también los sistemas más elegantes son los que tienen el número más pequeño de axiomas. 

Pero eso no es todo. Una teoría axiomatizada no sólo está más presentable, sino que además es más fácil de estudiar; porque si conocemos las ramas grandes, y sobre todo si conocemos las raíces, será más fácil conocer, o hacer germinar de su propia sustancia, las ramas más pequeñas; los axiomas, y los teoremas que se deducen de ellos, son como botones o yemas de los que van creciendo ramas, hojas y flores; hasta que el árbol se vuelve frondoso.

Cuando la física empezó a crecer lo hizo por gemaciones y biparticiones más o menos dispersas: fueron Galileo, Copérnico, Descartes, Tycho Brahé y Kepler. Pero llegó un momento en que había demasiadas leyes sueltas y Newton las quiso atar a un mismo tronco para formar un árbol con muchas ramas: forjó una teoría y la axiomatizó (lo mismo que Homero creó la Ilíada uniendo leyendas dispersas). El árbol de la física (que era entonces sobre todo mecánica de sólidos) creció a partir de tres raíces: el principio de inercia, el de la fuerza y el de la acción y reacción. Pero tales principios, junto con el tronco y las ramas, no fueron un diagrama de flujo por el que se vertieron las leyes más conocidas, sino una organización de crecimiento que hizo más fácil la aparición de leyes aún desconocidas (puesto que las leyes primigenias generaban nuevos teoremas que eran capaces de depositar, en las ramas, yemas de las que brotarían teoremas nuevos). Una teoría axiomática no es un corsé que impide crecer al árbol, sino una fuerza ordenada que facilita su crecimiento; no es una muralla cerrada que impide la expansión de la ciudad, sino una muro con muchas puertas que, a la vez que la protege, la deja abrirse y crecer hacia afuera.

Recapitulando: las matemáticas son la estructura de crecimiento que sostiene nuestras ideas como un esqueleto; la musculatura que le da fuerza para crecer como ese esqueleto; y ese esqueleto es más que la vara que les sirve de tutor a las plantas para que se agarren y crezcan; es la médula que circula para darles vida, y crece a la par de los músculos, haciendo proliferar sus poleas, muelles y palancas. Las matemáticas, además de sostén de las teorías, son trajes que las embellecen y fuerzas que las hacen crecer: esos son los sistemas axiomáticos.

Tales sistemas crecen por deducción; las deducciones son formas implícitas que se abren al exterior, y, más que estructuras “enrolladas” que se “desenrollan” como las hojas cuando se abren, formas implícitas que se expresan: y que vierten fuera lo que vierten dentro (como movimiento que va de lo general a lo particular, comparables a un mismo genotipo que siembra en cada lugar fenotipos nuevos).

Pero las matemáticas, que parecen seguras y, más que seguras, infalibles, tropezaron un día con los números irracionales y se dieron un batacazo: fue su gran crisis y la tuvo que sufrir Pitágoras. Mucho más tarde tuvieron una segunda crisis y tampoco han salido de ella. Fue con la paradoja de Russell. Con el teorema de Gödel viven en un universo en el que impera su estructura sólida, flexible con su plasticidad mucho más que con la dureza del acero. Pero es un barco con algunos flancos débiles que algún día se pueden convertir en boquetes; y esperamos que ese deterioro no llegue a producirse nunca por debajo de su línea de flotación.