PITÁGORAS

PITÁGORAS

             

            -Pitágoras nació a principios del siglo VI antes de Cristo en la isla de Samos, cerca de Mileto, en lo que hoy es la costa turca. Seguramente observaría que nuestra experiencia está llena de objetos que se presentan como unidades: un caballo, veinte casas, cien estrellas... Cuando partimos las unidades en trozos iguales las hacemos racionales: una torta cortada por la mitad son 2/2 de torta, y si cogemos una de ellas tenemos ½. Las unidades son números enteros, porque representan objetos enteros. Y los números racionales representan objetos partidos, o repartidos a partes iguales; por ejemplo, un objeto partido en cinco trozos son 5/5: o sea, que lo partimos en cinco trozos, como dice el número de arriba (al que llamamos numerador) y cada trozo es una quinta parte del total (como dice el número de abajo, al que llamamos denominador). El numerador nos dice la cantidad de trozos que tenemos; y el denominador expresa el tamaño relativo de cada trozo. Lo mismo pasa en música: un compás de 4/4 indica que lo dividimos en 4 partes (denominador) y cada parte (cada tiempo o pulso que medimos) ocupa la cuarta parte del compás. El compás de 3/8 indica que en él caben tres tiempos, y que cada tiempo ocupa la octava parte del compás de referencia. El compás que sirve de referencia para todos es el de cuatro cuartos (4/4); cada trozo de ese compás, como dice el denominador, vale un tiempo (o, como se dice también, un pulso): representa la unidad, y a esa nota unitaria la llamamos negra. Pues bien, un compás de 3/8 tiene tres notas de medio tiempo (8 es la mitad de 4): a esa nota que vale media negra la llamamos corchea.

            Maia hablaba con Ilsa en un rumor persistente, como un moscardoneo. Cristal, que estaba cerca de ellas, las mandaba callar. Pedro miraba, obediente, sin entender demasiado. Hans persistía en su concentración profunda. Y los demás escuchaban, unos más, otros menos.

            -Pitágoras, como os digo, observó que todo lo que había en el mundo eran o cosas enteras o cosas partidas; o cosas o trozos de cosas. Los únicos trozos que le interesaron fueron los que se forman al cortar un objeto en partes iguales: él los representaba mediante números racionales; los llamaba racionales porque salían de la razón de un numerador con un denominador; razón, para Pitágoras, quiere decir división, cociente. Así, 2/4 es un número racional, porque el resultado de dividir 2 entre 4 es 0’5. Y 7/8 también lo es, porque 7 entre 8 da 0’875. Y lo es 1/6, que da 0’15. Hay divisiones que dan un resultado con un número infinito de decimales, como 1/3; el cociente de dividir 1 entre 3 es 3’333... la cantidad de treses que hay no se termina nunca: también es un número racional, porque sabemos en todo momento qué número va a aparecer: el 3. 

            Juan cogió un plato de plástico que había llevado. Con la cinta métrica midió su borde.

            -Son 48’24 centímetros: es lo que mide esta circunferencia.

            Después midió el diámetro.

            El diámetro es la línea que parte este disco en dos partes iguales. Éste mide 15 centímetros.

            Soltó el metro en la mesa y, con una tiza, se puso a escribir en la pizarra.

            - 48’24 entre 15 nos da... –Juan guardó silencio los breves segundos que tardó en hacer la división. Durante ese tiempo sólo se oía el repiqueteo de la tiza sobre la pizarra-. Nos da 3’1416. El cociente de la circunferencia por el diámetro nos da 3’1416... Pitágoras lo llamaba pi (se escribe “p” en griego). Pues bien, el número p tiene una cantidad infinita de decimales, como pasaba con 1/3; pero a diferencia de 1/3, los decimales van cambiando continuamente; no se puede predecir, cuando estamos ante el último decimal, qué número aparecerá después. Y como eso era incontrolable, Pitágoras dijo que p era un número irracional.

            Juan se volvió hacia el público y dejó la tiza sobre la mesa.

            -Pero antes de descubrir los números irracionales, Pitágoras creía que todo podía ser expresado por algún número racional. Creía que el universo estaba hecho de números. Que los números expresaban armonía, equilibrio. Y que la armonía sensorial que contemplamos en la figura del Partenón corresponde a una armonía numérica. Pitágoras veía en la aritmética un universo extraño, tan ordenado como maravilloso, y se enfrascó en el misticismo de los números enteros. Supuso que había números triangulares y números cuadrados. Un número triangular es el que formamos con puntos con los que podemos dibujar un triángulo, por ejemplo con tres –cogió tiza y volvió a dibujar en el encerado. Pero él dibujaba cruces en vez de puntos: eran más fáciles de trazar. Marcó dos y sobre ellas, en la vertical del espacio que las separaba, hizo otra; las unió con líneas y formó un triángulo-. Aquí tenéis –dijo-; es el número 3.

            Después, sobre el lado derecho de ese triángulo, dibujó otro lado mayor poniendo cruces a la altura de los huecos que había entre las cruces del lado original: le salieron tres cruces por lado, y Juan las contó todas, punteando con la tiza en el encerado, con un tableteo característico.

            -Seis. El número 6 también es triangular.

            Y siguió ampliando el triángulo inicial con un lado nuevo, y le salió el número 10: que también era triangular. Y así sucesivamente.

            Después puso cuatro cruces y le salió la figura de un cuadrado; para que resultara más visible lo materializó uniendo la cruces con líneas; las cruces eran los vértices del cuadrado.

            -El 4 no es un número triangular: es un número cuadrado.

            Juan dejó la tiza y se volvió hacia ellos.

            -3, 6, 10 son números triangulares; 4, 9, 16 son números cuadrados. Esta clasificación aparece en música, donde hay compases binarios (el 4/4, el 2/4, el 2/8) y compases ternarios (como el 3/8, el 6/8, el 2/3). Pitágoras descubrió en la música la revelación de la magia de los números. Experimentó golpeando con una varilla vasos de distintos tamaños llenos de agua; el vaso más grande producía un sonido más grave; el más agudo lo producía el vaso más pequeño. También experimentó pulsando cuerdas de distintas longitudes, y comprobó que las más largas eran también las más graves. Supuso, así, que la música se podría expresar mediante números racionales. Y calculó que los tres acordes se podían expresar mediante los números 2/1, 3/2 y 4/3, que eran relaciones muy sencillas.

            Juan los había escrito en el encerado mientras habló. Luego dibujó círculos concéntricos y dijo:

            -Suponed que yo dibujo estos círculos midiéndolos con exactitud. Imaginad que la longitud de este primero es equivalente a 2/1; la del segundo, a 3/2; y la del tercero, a 4/3. Estos círculos corresponden a los tres acordes fundamentales. Suponed ahora que esto no son círculos, sino circunferencias; y que representan las órbitas que describen los planetas sobre sus esferas concéntricas. Pitágoras creía que el espacio estaba lleno de aire. Pues bien, las esferas del cielo, al moverse, serían rozadas por el aire y producirían música celestial. Una música que no oímos, pero que a veces sí podemos escuchar durante las noches muy serenas. 

            Juan dejó la tiza y se sacudió la mano. En el encerado había dibujado unas esferas metidas dentro de otras como capas de cebolla; y lo había hecho cortando imaginariamente la cebolla del mundo por la mitad, como se corta una sandía; para que, lo mismo que en la superficie cortada de la sandía podemos ver las pipas, en la cebolla celeste podamos ver los astros: como pipas en el cielo.

            En el centro estaba la tierra, que era la esfera más pequeña. Sobre ella estaba la que contenía a la luna, y la luna era como una única pipa en esa capa. Más que una sandía partida, aquel corte se parecía a un árbol cortado, con su tronco afeitado transversalmente; en él se ven las capas concéntricas, y las separaciones entre capas representaban muy bien las órbitas de los astros. Detrás de la luna, en capas superpuestas, estaban sucesivamente Venus, Mercurio, el Sol, Marte, Júpiter, Saturno y la capa de las estrellas.

            Ése era el universo de Pitágoras. Y sonaba en el aire como una orquesta. Las notas producidas por los astros, al desplazarse en el espacio, eran la música de las esferas celestes. Un concierto producido por las circunferencias de las esferas, cuyas longitudes estaban relacionadas entre sí como las cuerdas de una lira. Al pulsarla, rozándolas, el aire producía la música del universo; que era un concierto extraño, maravilloso y sorprendente.